矩阵论基础

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

1855 年,埃米特(C.Hermite,1822~1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831~1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年,约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵

矩阵类型

向量的类型根据元素的实际意义不同可以分为,

  1. 物理向量

    泛指既有幅值,又有方向的物理量,如速度、加速度、位移等。

  2. 几何向量

    为了将物理向量可视化,常用带方向的线段表示。这种有向线段出称为几何向量。

  3. 代数向量

    几何向量可以用代数形式表示。例如,若平面上的几何向量$v=\vec{ab}$中点a的坐标为$(a_1,a_2)$,点b的坐标为$(b_1,b_2)$,则该几何向量可以表示为代数形式$\begin{bmatrix}
    b_1-a_1\
    b_2-a_2\
    \end{bmatrix}
    ​$

其中,根据元素的类型不同,代数向量又可以分为以下三种,

  1. 常数向量

    向量中的元素为实数或复数

  2. 函数向量

    向量中的元素包含函数值,如$\mathbf{x}=[1,x,x^2,…,x^n]^T$

  3. 随机向量

    向量中的元素为随机变量或随机过程,如$\mathbf{x}=[x_1(n),x_2(n),…,x_m(n)]^T$,其中$x_1(n),x_2(n),…,x_m(n)$是$m$个随机过程或随机信号

矩阵运算

转置、共轭、共轭转置、加法、乘法和求逆

矩阵的基本运算包括矩阵的转置、共轭、共轭转置、加法、乘法和求逆
$$
A=\begin{bmatrix}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 m}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 m}} \ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m m}}\end{bmatrix}
$$

  1. 矩阵$A$的转置记为$A^T$,其元素定义为$[A^T]{ij}=a{ji}$,

$$
A^T=\begin{bmatrix}{a_{11}} & {a_{21}} & {\cdots} & {a_{m1}} \ {a_{12}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{m2}} \ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \ {a_{1m}} & {a_{2m}} & {\cdots} & {a_{m m}}\end{bmatrix}
$$

  1. 矩阵$A$的共轭记为$A^$,其元素定义为$[A^]{ij}=a{ij}^*$,

$$
A^=\begin{bmatrix}{a_{11}^} & {a_{12}^} & {\cdots} & {a_{1 m}^} \ {a_{21}^} & {a_{22}^} & {\cdots} & {a_{2 m}^} \ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \ {a_{m 1}^} & {a_{m 2}^} & {\cdots} & {a_{m m}^}\end{bmatrix}
$$

  1. 矩阵$A$的共轭转置记为$A^H$,其元素定义为$[A^H]{ij}=a{ji}^*$,

$$
A^T=\begin{bmatrix}{a_{11}^} & {a_{21}^} & {\cdots} & {a_{m1}^} \ {a_{12}^} & {a_{22}^} & {\cdots} & {a_{m2}^} \ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \ {a_{1m}^} & {a_{2m}^} & {\cdots} & {a_{m m}^*}\end{bmatrix}
$$
共轭转置又被称为Hermitian伴随、Hermitian转置或Hermitian共轭,$A=A^T$的实方阵称为对称矩阵,$A=A^H$的复方阵称为Hermitian矩阵

  1. 方阵$A$的逆矩阵记为$A^{-1}$,$A^{-1}$被定义为满足以下关系$AA^{-1}=AA^{-1}=\mathbf{I}$

  2. 加法与乘法

    • 两个$m\times n$矩阵$A、B$的加法,$[A+B]{ij}=a{ij}+b_{ij}$

    • $m\times n$大小的矩阵$A$与$1\times n$大小的向量$x=[x_1,…,x_n]$相乘,$[Ax]i=\sum{j=1}^na_{ij}x_j,\quad i=1,…,m$

    • $m\times n​$大小的矩阵$A​$与$n\times r​$大小的矩阵$B​$相乘,$[AB]{ij}=\sum{k=1}^na_{ik}b_{kj},\quad i=1,…,m;j=1,…,r​$

    需要注意的是,一般来说,矩阵乘积是不满足交换律的

性质

关于矩阵中转置、共轭、共轭转置、求逆的性质

  1. 分配律

    $(A+B)^=A^+B^*,\quad (A+B)^T=A^T+B^T,\quad (A+B)^H=A^H+B^H​$

  2. 矩阵乘积中转置、共轭转置、求逆的性质

    $(AB)^T=B^TA^T,\quad (AB)^H=B^HA^H,\quad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}​$

  3. 转置、共轭、共轭转置与求逆交换

    $(A^)^{-1}=(A^{-1})^,\quad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,\quad (A^H)^{-1}=(A^{-1})^H$

矩阵函数

除了上述矩阵的基本运算之外,还有矩阵函数

  1. 三角函数
    $$
    \begin{aligned} \sin (\boldsymbol{A}) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \boldsymbol{A}^{2 n+1}}{(2 n+1) !}=\boldsymbol{A}-\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3}+\frac{1}{5 !} \boldsymbol{A}^{5}-\cdots \ \cos (\boldsymbol{A}) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \boldsymbol{A}^{2 n}}{(2 n) !}=\boldsymbol{I}-\frac{1}{2 !} \boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{4 !} \boldsymbol{A}^{4}-\cdots \end{aligned}
    $$

  2. 指数函数
    $$
    \begin{aligned} \mathrm{e}^{A} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \boldsymbol{A}^{n}=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3}+\cdots \ \mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}(-1)^{n} \boldsymbol{A}^{n}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{2}-\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3}+\cdots \ \mathrm{e}^{\boldsymbol{A} t} &=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A} t+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{2} t^{2}+\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3} t^{3}+\cdots \end{aligned}
    $$

  3. 对数函数
    $$
    \ln (I+A)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} A^{n}=A-\frac{1}{2} A^{2}+\frac{1}{3} A^{3}-\cdots
    $$

  4. 矩阵导数
    $$
    \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}}{\mathrm{d} t}=\dot{\boldsymbol{A}}=\left[ \begin{array}{cccc}{\frac{\mathrm{d} a_{11}}{\mathrm{d} t}} & {\frac{\mathrm{d} a_{12}}{\mathrm{d} t}} & {\cdots} & {\frac{\mathrm{d} a_{1 n}}{\mathrm{d} t}} \ {\frac{\mathrm{d} a_{21}}{\mathrm{d} t}} & {\frac{\mathrm{d} a_{22}}{\mathrm{d} t}} & {\cdots} & {\frac{\mathrm{d} a_{2 n}}{\mathrm{d} t}} \ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \ {\frac{\mathrm{d} a_{m 1}}{\mathrm{d} t}} & {\frac{\mathrm{d} a_{m 2}}{\mathrm{d} t}} & {\cdots} & {\frac{\mathrm{d} a_{m n}}{\mathrm{d} t}}\end{array}\right]
    $$

  5. 矩阵积分
    $$
    \int \boldsymbol{A} \mathrm{d} t=\left[ \begin{array}{cccc}{\int a_{11} \mathrm{d} t} & {\int a_{12} \mathrm{d} t} & {\cdots} & {\int a_{1 n} \mathrm{d} t} \ {a_{21} \mathrm{d} t} & {\int a_{22} \mathrm{d} t} & {\cdots} & {\int a_{2 n} \mathrm{d} t} \ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \ {\int a_{m 1} \mathrm{d} t} & {\int a_{m 2} \mathrm{d} t} & {\cdots} & {\int a_{m n} \mathrm{d} t}\end{array}\right]
    $$

特殊矩阵

对角矩阵、零矩阵、单位矩阵

幂等矩阵

幂等矩阵$A$具有以下性质:

幂单矩阵

又被称为对合矩阵,若$A^2=AA=\mathbf{I}​$,若$A​$为幂单矩阵,则函数$f(\cdot)​$具有以下性质:
$$
f(s \boldsymbol{I}+t \boldsymbol{A})=\frac{1}{2}[(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}) f(s+t)+(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) f(s-t)]
$$
其中,幂等矩阵和幂单矩阵也有关系,矩阵$A$是幂单矩阵,当且仅当$\frac{1}{2}\boldsymbol({A}+\boldsymbol{I})$

幂零矩阵

方阵$A$被称为幂零矩阵,若$A^2=AA=\boldsymbol{O}$,若$A$为幂单矩阵,则函数$f(\cdot)$具有以下性质:
$$
f(s \boldsymbol{I}+t \boldsymbol{A})=\boldsymbol{I}f(s)+t\boldsymbol{A}f^{\prime}(s)
$$


Source From:

《矩阵分析与应用》,张贤达

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