Cox-Box变换

《回归分析的基本假设》中提到了回归分析中的基本假设.这里的Box-Cox变换方法能够解决回归模型中的误差项不服从高斯分布的违例问题.

通常这种违例情况出现在,误差\(\epsilon\)与预测变量相关的时候,会影响模型结果的精确度.简单的方法就是通过对\(X\)进行变换,如

\[ \begin{aligned} y &=\sqrt{x} \\ y &=\frac{1}{x} \\ y &=\frac{1}{\sqrt{x}} \\ y &=\ln (x) \end{aligned} \]

当P值小于0.003时,由于普通数据转换方法很难使其实现正态化处理,运用Box-Cox变换方法对原数据进行正态化处理就表现出巨大的价值.当P值大于0.003时,两种变换方法均可,但优先考虑普通的平方变换.

Box-Cox变换是对反应变量y进行变换

\[ y^\lambda= \begin{cases} \frac{y^\lambda-1}{\lambda}, &\lambda \neq 0\\ \log(y), &\lambda = 0 \end{cases} \]

可以看出,y的Box-Cox变换是一个变换族.\(\lambda​\)能够决定变换的具体形式.同时上式有暗含的条件即\(y>0​\).对于任意取值,则应该改为

\[y^\lambda = \begin{cases} \frac{(y+c)^\lambda-1}{g\lambda}, &\lambda \neq 0\\ \frac{\log(y+c)}{g}, &\lambda = 0 \end{cases} ​\]

方法优势

  • 保持原始数据中数据的大小次序
  • 转换函数连续
  • 转换函数可导
  • 函数族各函数之间随参数改变平滑过渡,且都经过一个公共点,以增强不同函数之间的可比性
  • 函数族内每个函数在公共点两边的变化趋势有一定的对称性
  • 函数族的曲线是按P值大小排序的,较大的P值对应的函数曲线位于较小P值得上方

\(\lambda\)值的确定

通过最大似然估计或者Bayes方法.

使用Box-Cox变换族一般都可以保证将数据进行成功的正态变换,但在二分变量或较少水平的等级变量的情况下,不能成功进行转换,这时可以使用广义线性模型,如Logustics模型、Johnson转换等.

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