平方和定理

在数论里,平方和定理的对象为整数\(n>1\)能够被写为两个平方和的形式,即\(n=a^2+b^2\)。该定理如下:

一个比\(1\)大的整数能够被写成两个平方的和的形式,当且仅当它的素数分解中不包含这样的素数,该素数对4取余等于3且该素数的指数为奇数。

例如,\(2450=2\cdot 5^2\cdot 7^2\),在这素数分解中的素数包括\(2,5,7\),其中只有\(7\)对4取余等于3,但是它的指数是\(2\)为偶数。因此,它可以表示为两个平方的和的形式。\(2450=7^2+49^2\)。 相对应地,3430的素数分解形式为\(2\cdot 5 \cdot 7^3​\),其中3为奇数,因此按照定理它不能被写成两个平方的和的形式。

参考资料: Sum_of_two_squares_theorem

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